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这蝴蝶定理有一个基本的条件，就是你图中OM⊥PQ
证明：推广2
作DG//PQ，交⊙O于G，连接PG、MG、FG。
∵OM⊥PQ，DG//PQ
∴OM垂直平分DG（垂径定理）
∴DM=GMS
∴∠MDG=∠MGD=∠DMP=∠GMQ（后面两个角根据平行内错角相等）
则∠DMQ=∠GMPA（等角的补角相等）
∵∠MDG=∠PFG（同弧所对的圆周角相等）
∴∠GMQ=∠PFG
∴F、P、M、G四点共圆（外角等于内对角，四点共圆）
∴∠PFM=∠PGM
∵∠PFM=∠MDQ
∴∠PGM=∠MDQA
∴△PGM≌△QDM（ASA）
∴MP=MQ
推广1
过点F作FG//PQ ，交⊙O于G，连接MG、DG、QG。
∵OM⊥PQ，FG//PQ
∴OM垂直平分FG（垂径定理）
∴MF=MGS
∴∠MGF=∠MFG=∠PMF=∠QMGA（后面两个角根据平行内错角相等得出）
∵∠MFG=∠QDG（同弧所对的圆周角相等）
∴∠QMG=∠QDG
∴G、Q、D、M四点共圆
∴∠QGM+∠EDC=180°
∵∠PFM+∠EFC=180°
∠EDC=∠EFC∴∠QGM=∠PFMA
∴△PFM≌△QGM（ASA）
∴MP=MQ
蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理，它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性．不少中数专著或杂志至今还频繁讨论．本文揭示了它与中点弦性质的紧密联系，并给出统一而简明的证明，指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式．
引理：设两条不同的二次曲线
S：F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0
有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线，则过A、B、C、D四点的任意一条二次曲线S2必可唯一地表示成：
(证明略)
定理1 设三条不同的二次曲线(S、S1、S2)有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线；又直线L0被S、S1、S2各截得一弦．若其中两弦中点重合，则第三弦中点亦重合．
证 设S、S1的方程为(1)、(2)，则S2方程可表为(3)．因直线L0(设斜率为k)关于二次曲线S、S1、S2的共轭直径分别为：
L：(a11x+a12y+a13)+k(a12x+a22y+a23)=f(x，y)=0
因L、L1都通过L0被S与S1所截得的弦PQ与EF的共同中点O，显然L2也必通过点O，故O也是L0被S2所截得的弦GH的中点．
注 两直线AB和CD或AD和CB或AC和BD都可看做二次曲线S1的特殊情形，甚至E和F重合于O．故本定理包括了蝴蝶定理众多情形．
定理2 设AB∥CD，S和S1是过A、B、C、D四点的任意两条二次曲线．若平行于AB的任意直线与S、S1各有两个交点，则夹在两曲线之间的两线段相等．
证 设AB、CD的中点分别为M、N，又AB∥CD，故直线MN就是AB关于S和S1的共轭直径，故若平行于AB的任意直线被S、S1所截的弦PQ、EF有共同中点O，故有PE=QF，命题得证．
注 由于PQ可为AB与CD之间任意平行弦，皆有PE=QF，故夹在S和S1之间的两曲边区域△1和△2面积相等．[1]它酷似蝴蝶两翼，不过并非轴对称，而是沿AB方向共轭．如果世上真有这样的蝴蝶，飞行亦能平衡自如．
定理1还可推广得到更一般的结论．
定理3 若三条不同的二次曲线S、S1、S2有无三点共线的四个公共点，沿某一确定方向的任意直线L0被S、S1、S2各截得一弦PQ、EF、GH，则三弦中点O、O1、O2之间有向线段之比为常数．
证 不妨取坐标系使确定方向为x轴．于是该方向(k=0)关于S、S1、S2的共轭直径分别为(参见定理1)：
L：a11x+a12y+a13=0
L1：b11x+b12y+b13=0
L2：(a11x+a12y+a13)+λ(b11x+b12y+b13)=0
设直线L0方程为y=y0，PQ、EF、GH的中点为O(x0，y0)，O1(x1，y0)，O2(x2，y0)，于是由直径方程知：
a11x0+a12y0+a13=0，b11x1+b12y0+b13=0
(a11x2+a12y0+a13)+λ(b11x2+b12y0+b13)=0
故 a11(x2－x0)=λb11(x2－x1) (4)
即 OO2/O2O1=α (a11≠0时) (5)
其中α=－λb11/a11是与y0无关的常数(由S、S1、S2三曲线确定．当a11=0时，L∥L0可知L0与S无两个交点，故不在本命题讨论之列)．
(5)式意即：在指定顺序O、O2、O1之下，两有向线段之比不因L0平行移动而变化．
推论 在定理3条件下，对任意直线L0所截的三弦中点中，任意两点总在第三点同侧或异侧．当O、O1、O2中有两点重合时，第三点也重合．“蝴蝶定理”虽然如自然界的蝴蝶种类一样千变万化，然而万变不离其宗，核心在于中点弦性质．
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