解
一、
y=ax²+bx+c的对称轴为x=?-?b/2a,?而已知对称轴为直线x=2,∴b/2a?=?2,
∵a?≠?0?,
∴b?=4a?①
又图像经过A(-1,-18),?B(1，a),
∴?-18=a+4a+c?5a+c=-18?②,及a=a-4a+c?c=4a③,
③代入②,9a?=?-18?a=?-2④,
④代入?③,?c=?-8⑤?
④代入①,?b=8?⑥,?
④、⑥、⑤代入y，y=?-2x²+8x-8?,∴-2x²+8x-8是这个函数的解析式;
(2)由(1)求得y=?-2x²+8x-8?,由a=?-2<0知其开口朝下,已知x=2为其对称轴, ∴在x属于(-∞,2]时,?y随x的增大而增大,?而在x属于[2,∞)时,?y随x的增大而减小; (3)?由a=-2<0知函数y只有最大值,?y的顶点式为?y=?-2(x-2)² ∴函数的最大值为0,?此时自变量的值为x=2?.二、
⑴?若抛物线y=x²+2x+m-1与x轴只有一个交点，那么x²+2x+m-1=0只有一个解，此时，
△=2²-4(m-1)=04-4m+4=0?-4m+8=0,
∴m=2；
(2)若抛物线y=x²+2x+m-1与直线y=x+2m只有一个交点,?那么?
x²+2x+m-1=x+2mx²+?x-m-1=0只有一个解，由于
△=1-4(-m-1)=5+4m=0,
∴m=?-5/4；
三、抛物线y=x²?与x轴只有一个交点(0,?0),?向上平移与x轴无交点,若向下平移距离c(c>0),?则此时抛物线与Y轴的交点为C?(?c,?0),?解析式为
y=x²?-c?,
令y=x²?-c=0,?则得如图所示的两个交点A(-√c,?0?)、B（√c,?0),由于题设△ABC为等边三角形,
∴tanπ?=√c/c√c/c=?√3/31/c=1/3, ∴?c=3, ∴?此时抛物线的解析式:?y=x²?-3.解：(1)
∵ 点A(3,4)在直线y=x+m上，
∴ 4=3+m.
∴ m=1
求直线的解析式y=x+1
设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)^2.
∵ 点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)^2.的图象上，
∴ 4=a (3-1)^2
∴ a=1.
∴ 所求二次函数的关系式为y=(x-1)^2.
即y=x^2-2x+1.
(2) 设P、E两点的纵坐标分别为yp和ye .
∴ PE=h=yp-ye =(x+1)-( x^2-2x+1) =--x^2+3x.
即h=-x^2+3x (0＜x＜3).
(3) 存在.
要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC
∵ 点D在直线y=x+1上,
∴ 点D的坐标为(1,2),
∴ -x^2+3x=2 .
即x^2-3x+2=0
解之，得 x1=2，x2=1 (不合题意，舍去)
∴ 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.
