关于超几何分布期望详细证明，相关内容如下：
超几何分布的期望为：mathbb{E}[X]=frac{nN_1}{N}。
一、超几何分布概述
超几何分布是概率论中一种离散概率分布，通常用于描述如随机抽样等领域。其与二项分布有些类似，但与二项分布不同的是，它的每次实验并不是独立进行的，而是与前一次实验有关联的。
二、求超几何分布的期望
对于一个超几何分布随机变量X，表示从一共拥有N个物品中选n个物品，并且其中有N_1个具有某个特定性质的物品，那么它的概率质量函数为：
mathrm{P}(X=k)=dfrac{binom{N_1}{k}binom{N-N_1}{n-k}}{binom{N}{n}}
现在我们来计算其期望。
mathbb{E}[X]=sum_{k=0}^{n}{kcdotmathrm{P}(X=k)}
将上述概率质量函数代入得：
begin{aligned}mathbb{E}[X]&=sum_{k=0}^{n}{kcdotfrac{binom{N_1}{k}binom{N-N_1}{n-k}}{binom{N}{n}}}\&=sum_{k=0}^{n}{frac{kbinom{N_1}{k}binom{N-N_1}{n-k}}{binom{N}{n}}}\&
=sum_{k=0}^{n}{frac{kfrac{N_1!}{k!(N_1-k)!}cdotfrac{(N-N_1)!}{(n-k)!(N-N_1-(n-k))!}}{frac{N!}{n!(N-n)!}}}\&=frac{nN_1}{N}end{aligned}
三、证明过程
上式的推导可以通过对期望的定义和组合数学的知识来完成。
首先，我们来看期望的定义：
mathbb{E}[X]=sum_{i=1}^{n}{x_imathrm{P}(X=x_i)}
其中，mathrm{P}(X=x_i)表示随机变量X取值为x_i的概率。对于超几何分布，其中每个样本取到的概率是不等的，方便起见，我们设其中有k个物品具有特定性质，则选出k个物品的方案数为binom{N_1}{k}。
同理，选出n-k个非特定物品的方案数为binom{N-N_1}{n-k}。而在总共N个物品中选取n个的方案数为binom{N}{n}。因此，有以下概率质量函数：
mathrm{P}(X=k)=dfrac{binom{N_1}{k}binom{N-N_1}{n-k}}{binom{N}{n}}。
